🔢 Simplificação de Expressão Lógica

📌 Introdução

A simplificação de expressões lógicas é fundamental na otimização de circuitos digitais e na redução da complexidade computacional. Em sistemas embarcados e aplicações industriais, expressões lógicas mais simples resultam em menor consumo de energia, maior eficiência e menor custo de implementação pois necessitam de menos componentes.

Na área da programação, muitas vezes ocorre de o programador se deparar com um complexo aninhamento de expressões lógicas, em um fluxo de controle (ifs, elses, do cases..). Não raro, é possível encontrar expressões equivalentes lógicas simplificadas. É isso o que mostraremos neste artigo.

💡 Contexto e Necessidade

As expressões lógicas são utilizadas nas mais diversas áreas, em sistemas eletrônicos e softwares. A formulação correta e eficiente das regras de implementação da funções lógicas e dos circuitos equivalentes evita falhas e otimiza a segurança do sistema, além de tornar os códigos mais simples e legíveis.

🔬 Fundamentos Teóricos

📘 Álgebra Booleana

A Álgebra Booleana é a base da lógica digital. Ela se fundamenta em operações com os operadores ou portas lógicas (AND, OR e NOT em especial), e é essencial para a formulação e simplificação tanto circuitos quanto de aplicativos de programação.

📊 Mapa de Karnaugh

O Mapa de Karnaugh é uma técnica gráfica utilizada para minimizar expressões booleanas, reduzindo a complexidade de circuitos lógicos. Ele permite visualizar padrões e agrupar termos semelhantes para encontrar expressões equivalentes mais simples.

Aplicativos como o Logisim permitem a visualização dos mapas de Karnaugh relacionados a uma expressão lógica. O aplicativo online Circuit Verse também permite a simplificação lógica, além de apresentar o circuito correpondente, assim como o Logisim.

A simplificação das expressões lógicas na prática

📝 Vejamos, na prática, como uma expressão complexa pode ser simplificada. Suponhamos algum dos sistemas exemplificados na parte final deste artigo. Como esses exemplos são formados por 4 variáveis boleanas na entrada, a tabela verdade de sua função lógica conterá 16 linhas. Isso porque as tabelas verdade contêm tantas linhas quanto o resultado da fórmula: 2 elevado a n, onde n é a quantidade de variáveis de entrada. Portanto, para n=4, haverá 16 linhas (2^4=16). Caso se tratasse de exemplos com 3 variáveis, haveria 8 linhas (2^3=8); se fossem 5 variáveis, 32 linhas (2^5=32) e assim por diante.

Digamos que, em uma abordagem ingênua (naive no inglês), um programador ou projetista de circuitos estivesse analisando uma tabela verdade de 16 linhas, igual à do Exemplo 1 , "Controle de Acesso a um Sistema" apresentado lá embaixo e, para programar seus vários casos, utilizasse o seguinte fluxo de execução:

🪟Tabela verdade do exemplo 1

A tabela verdade em questão, que o programador teria presumidamente utilizado, seria esta:

🐞 Expressão lógica boleana, não simplificada, para trabalhar com a tabela verdade acima

✅ Expressão lógica boleana simplificada

⚖️Código para comparar os resultados entre os algoritmos nas versões "ingênua" e simplificada

Comparem as duas versões da função contidas no código abaixo. Ambas produzem o mesmo resultado. Porém, enquanto a versão simplificada contém apenas 3 linhas de código, a versão "ingênua" contém quase 50 linhas.

🔎 No exemplo 8, as vantagens da simplificação são mais evidentes

Se analisarmos o exemplo 8, do "Sistema de Controle de Tráfego", veremos ainda mais nítidas as vantagens da simplificação.

🪟Tabela verdade do exemplo 8

🐞 Expressão lógica boleana, não simplificada, para trabalhar com a tabela verdade do exemplo 8

✅ Expressão lógica boleana simplificada para o exemplo 8

⚡ Como realizar, na prática, a simplificação das expressões lógicas?

Bem, o melhor conselho seria estudar e aprofundar-se nas técnicas de álgebra boleana. Tudo fica mais fácil quando, além das experiências práticas, domina-se também a teoria envolvida.

Apresentaremos três outras formas de resolver essa simplificação:

1️⃣ Resolver com a ajuda do ChatGPT

Esta é a opção mais simples, mas também a menos indicada por ora, ao menos na versão gratuita.

Copie a expressão a simplificar, por exemplo, F=(((A'B'C'D)+(A'B'CD')+(A'B'CD)+(A'BC'D)+(A'BCD')+(A'BCD)+(AB'C'D)+(AB'CD')+(AB'CD)+(ABC'D')+(ABC'D)+(ABCD')+(ABCD))) e, no prompt do ChatGPT, solicite a simplificação.

Um exemplo de prompt pode ser:

Simplifique esta expressão lógica o máximo que puder, considerando-se que utiliza a notação do caracter ' para o operador lógico not e + para o operador or. A expressão em questão: ((A'B'C'D)+(A'B'CD')+(A'B'CD)+(A'BC'D)+(A'BCD')+(A'BCD)+(AB'C'D)+(AB'CD')+(AB'CD)+(ABC'D')+(ABC'D)+(ABCD')+(ABCD)). Quando não houver caractere nenhum, considere que ali vai um operador lógico and. As variáveis de entrada são A, B, C e D e a função de saída é S=f(A,B,C,D).

Repito o alerta de que, por ora ao menos, e na versão gratuita, e nos momentos em que estiver utilizando os modelos mais simples dessa IA, este é o método mais sujeito a falhas e respostas erradas. Ainda assim, é bastante útil para uma visão geral, e como começo de verificação, para confirmação posterior por outros métodos, como os apresentados abaixo.

2️⃣ Resolver a simplificação da expressão lógica com o Circuit Verse

O Circuit Verse é uma ferramenta online que permite simular circuitos digitais. Para utilizar a ferramenta de análise combinacional que o Circuit Verse mantém disponível, siga estes passos:

1. Acesse o Circuit Verse.
2. Clique em "Launch Simulator".
3. No menu superior, vá em Tools > Combinational Analysis.
4. No campo "Enter boolean function", insira a expressão lógica ((A+B')C)+((A B C)(A C')).
5. Clique em "Next" para visualizar a tabela verdade resultante da expressão.
6. Clique em "Generate circuit"
7. Apague todas as conexões não utilizadas
8. O circuito que restar corresponderá à versão lógica simplificada

3️⃣ Resolver a simplificação no aplicativo Logisim

A simplificação realizada no aplicativo Logisim é, de certo modo, ainda mais simples do que a apresentada acima, do Circuit Verse. Isso por que é diretamente apresentada na janela em que mostra o mapa de Karnaugh. O ponto negativo é que tem menos flexibilidade para tabelas maiores, pois tem um limite baixo de possíveis variáveis de entradas (limite de 12, na versão testada: 2.7.1).

1. Depois de baixá-lo e instalá-lo na pasta de sua preferência, abra o aplicativo
2. Acesse a análise combinacional em "Projeto > Analisar Circuito"
3. Ao contrário do Circuit Verse, o Logisim não permite a entrada direta da expressão a minimizar, portanto, é preciso entrar com as variáveis de entrada (A,B,C) e com a de saída (F).
4. Depois disso, manualmente configurar a tabela verdade.
5. A expressão resultante dependerá da configuração (manual) da tabela verdade
6. Aí, sim, é que, na aba "Minimizada" é que o usuário terá o resultado da simplificação da expressão.
7. Na aba "Minimizada", poderá escolher entre uma das formas de minimização: Soma de Produtos ou Produto das somas. Em cada caso, um ou outro pode ser o mais vantajoso em termos de simplicidade e de economia de recursos.

Exemplos de sistemas hipotéticos relativamente complexos

Solicitei ao ChatGpt para indicar alguns exemplos de sistemas hipotéticos relativamente complexos, com 4 variáveis booleanas na entrada e 1 na saída. Vejam as sugestões recebidas, já com as adaptações que fiz:

📈 Conclusão

A simplificação de expressões lógicas é essencial para tornar circuitos mais eficientes e econômicos. Utilizando técnicas de simplificação das expressões lógicas, seja com o uso de álgebra booleana, do Mapa de Karnaugh ou de ferramentas como o CircuitVerse, o Logisim e os portais de IA como o ChatGPT, podemos construir sistemas otimizados e de melhor desempenho.